Qo‘shimcha ma’ruza A3 · Astronomiya

Teleskop kuzatuv ma’lumotlari: fotometriya, yorug‘lik egri chizig‘i va masofani aniqlash

Teleskopning yorug‘lik yig‘ish va ajrata olish qobiliyati, Pogson shkalasi va CCD fotometriya, yorug‘lik egri chizig‘idan davrni topish, Sefeidlar yordamida masofani o‘lchash va tranzit fotometriya. Interaktiv kuzatuv modeli hamda Kepler kosmik teleskopining ochiq ma’lumotlari bilan laboratoriya ishi.

1. Nazariya

Zamonaviy astronomiya — ma’lumotlar fani. Teleskoplar millionlab yulduzning yorqinligini vaqt bo‘yicha o‘lchaydi va bu ma’lumotlar ochiq arxivlarda hamma uchun bepul. Ushbu ma’ruzada teleskopning asosiy parametrlari, fotometriya, yorug‘lik egri chizig‘idan davrni topish va Sefeidlar yordamida masofani o‘lchash o‘rganiladi.

3.1. Teleskopning asosiy parametrlari

ParametrFormulaMa’nosi
Yorug‘lik yig‘ish qobiliyati$\propto D^2$Diametri 2 marta katta teleskop 4 marta ko‘p foton yig‘adi
Ajrata olish chegarasi$\theta \approx 1{,}22\,\lambda / D$Ikki yaqin nuqtani alohida ko‘rish mumkin bo‘lgan eng kichik burchak (Reley mezoni)
Kattalashtirish$\Gamma = F_{\text{ob}} / f_{\text{ok}}$Obyektiv va okulyar fokus masofalari nisbati; fotometriyada asosiy emas
Ko‘rish sharoiti (seeing)odatda 0,5″–2″Atmosfera turbulentligi tufayli Yerdagi teleskoplarning haqiqiy ajrata olishi

3.2. Fotometriya va yulduz kattaliklari

Yulduz kattaliklari logarifmik shkalada o‘lchanadi (Pogson formulasi). 5 kattalik farqi oqimning roppa-rosa 100 marta farqiga teng, kattalik qancha kichik bo‘lsa, yulduz shuncha yorug‘:

$$m_1 - m_2 = -2{,}5\,\lg\frac{F_1}{F_2}$$

CCD kamerada yulduz atrofidagi doiraviy apertura ichidagi signal yig‘iladi, osmon foni ayiriladi. O‘lchash aniqligini signal/shovqin nisbati (S/N) belgilaydi:

$$\frac{S}{N} = \frac{N_*}{\sqrt{N_* + n_{\text{pix}}\left(N_{\text{fon}} + N_{\text{qorong‘i}} + R^2\right)}}, \qquad \sigma_m \approx \frac{1{,}0857}{S/N}$$

Bu yerda $N_*$ — yulduzdan kelgan elektronlar soni, $n_{\text{pix}}$ — aperturadagi piksellar soni, $R$ — o‘qish shovqini. Yorug‘ yulduz uchun $S/N \approx \sqrt{N_*}$, ya’ni ekspozitsiya vaqtini 4 marta oshirsak, xatolik 2 marta kamayadi.

3.3. Yorug‘lik egri chizig‘i va davrni topish

Yorug‘lik egri chizig‘i — yulduz kattaligining vaqtga bog‘liqligi. Kuzatuvlar notekis vaqtlarda olinadi (kunduzi, bulutli kunlarda kuzatib bo‘lmaydi), shuning uchun davr fazaga yig‘ish usuli bilan topiladi:

$$\varphi = \frac{t - t_0}{P} - \left\lfloor \frac{t - t_0}{P} \right\rfloor$$

Agar sinov davri $P$ to‘g‘ri bo‘lsa, barcha nuqtalar fazada yagona silliq egri chiziq hosil qiladi; noto‘g‘ri bo‘lsa — tartibsiz bulut. Bu g‘oya faza dispersiyasini minimallashtirish (PDM, Stellingwerf, 1978) usulining asosidir. Boshqa usullar: Lomb–Scargle periodogrammasi (sinusoidal o‘zgarishlar uchun) va BLS (tranzitlar uchun “quti” shaklidagi signal).

3.4. Sefeidlar — “standart sham”

Sefeidlar — radial pulsatsiyalanuvchi gigant yulduzlar. 1912-yilda Henrietta Livitt (Leavitt) Kichik Magellan bulutidagi Sefeidlar qanchalik yorqin bo‘lsa, davri shunchalik uzun ekanini aniqladi. Zamonaviy kalibrovka (Benedict va b., 2007):

$$M_V = -2{,}43\,(\lg P - 1) - 4{,}05 \qquad (P \text{ — sutkalarda})$$

Davrni yorug‘lik egri chizig‘idan, o‘rtacha ko‘rinma kattalik $m$ ni kuzatuvdan topib, masofa moduli orqali masofani hisoblaymiz:

$$d = 10^{(m - M + 5)/5}\ \text{pk} \qquad (\text{yulduzlararo yutilish } A_V \text{ bo‘lsa: } m - M - A_V)$$

Sefeidlar Habbl Andromeda tumanligining galaktika ekanini isbotlashida (1925) va bugungi Habbl doimiysini o‘lchashda asosiy “masofa zinapoyasi” pog‘onasi bo‘lib xizmat qiladi.

3.5. Tranzit fotometriya

Sayyora yulduz diski oldidan o‘tganda yorug‘lik biroz pasayadi: $\Delta F / F \approx (R_p / R_*)^2$. Yupiter o‘lchamidagi sayyora Quyoshsimon yulduz yorug‘ligini ~1 %, Yer o‘lchamidagisi esa atigi ~0,008 % ga kamaytiradi. Kepler (2009–2018) va TESS (2018-yildan) kosmik teleskoplari minglab ekzosayyorani shu usulda topgan. Batafsil — 10-ma’ruza.

3.6. Ochiq kuzatuv arxivlari

ArxivNimani beradiManzil
MAST (STScI)Kepler, TESS, Habbl va JWST ma’lumotlariarchive.stsci.edu
AAVSOO‘zgaruvchan yulduzlarning havaskor va professional kuzatuvlari (100 yildan ortiq)aavso.org
Gaia arxivi (ESA)~1,8 mlrd yulduz: parallaks, fotometriya, o‘zgaruvchanlikgea.esac.esa.int
NASA Exoplanet ArchiveTasdiqlangan ekzosayyoralar va ularning parametrlariexoplanetarchive.ipac.caltech.edu

2. Interaktiv kuzatuv modeli

Model sun’iy kuzatuvlar seriyasini yaratadi: tasodifiy vaqtlarda olingan, shovqinli o‘lchashlar. Vazifangiz — sinov davri slayderini surib, fazaga yig‘ilgan grafikda nuqtalar silliq egri chiziqqa tushadigan davrni topish. Shovqin teleskop diametri va ekspozitsiya vaqtiga bog‘liq (soddalashtirilgan model).

Kuzatish vazifalari:
  1. Davrni qo‘lda toping, so‘ng “Avtomatik izlash” natijasi bilan solishtiring. Θ qiymati qanday o‘zgaradi?
  2. Sinov davrini haqiqiy davrdan ikki marta katta qilib qo‘ying. Fazaga yig‘ilgan grafikda nima ko‘rinadi va nima uchun PDM bunday davrlarda ham minimum beradi?
  3. Teleskop diametrini 50 mm dan 500 mm gacha oshiring. Bitta o‘lchash xatoligi necha marta kamayadi?
  4. Topilgan davr bo‘yicha Sefeid masofasini hisoblang va “Javobni ko‘rsatish” bilan tekshiring. Xatolik qayerdan kelib chiqadi?

3. Laboratoriya ishi: Kepler ma’lumotlari

Ishning maqsadi: Kepler kosmik teleskopining ochiq fotometrik ma’lumotlari bo‘yicha (1) ekzosayyora tranziti davri va sayyora radiusini, (2) Sefeid davri va masofasini aniqlash; SI yozgan tahlil kodini mustaqil tekshirish.

Kerakli vositalar (hammasi bepul): Google Colab, ochiq manbali Lightkurve Python kutubxonasi (ma’lumotlarni MAST arxividan avtomatik yuklaydi), Gemini, ChatGPT yoki Claude’ning bepul tarifi.

A qism. Kepler-10 b ekzosayyorasi

!pip install -q lightkurve
import numpy as np
import lightkurve as lk

lc = lk.search_lightcurve("Kepler-10", author="Kepler", cadence="long").download_all().stitch()
lc = lc.flatten(window_length=901).remove_outliers(sigma=5)

pg = lc.to_periodogram(method="bls", period=np.arange(0.3, 10, 0.0005), duration=0.08)
P = pg.period_at_max_power
t0 = pg.transit_time_at_max_power
print("Davr:", P, "  chuqurlik:", pg.depth_at_max_power)

lc.fold(period=P, epoch_time=t0).scatter(alpha=0.2)
  1. Topilgan davrni NASA Exoplanet Archive’dagi qiymat bilan solishtiring (Kepler-10 b uchun ≈ 0,837 sutka).
  2. Chuqurlikdan $R_p/R_*$ ni toping. Yulduz radiusi $R_* \approx 1{,}07\,R_\odot$ deb olib, sayyora radiusini Yer radiuslarida hisoblang ($R_\odot \approx 109\,R_\oplus$).
  3. Periodogrammada P/2 va 2P davrlardagi cho‘qqilarga e’tibor bering: ular nima uchun paydo bo‘ladi? Tizimdagi ikkinchi sayyora Kepler-10 c (P ≈ 45,3 sutka) nima uchun bu periodogrammada ko‘rinmaydi?

B qism. V1154 Cyg Sefeidi

lc = lk.search_lightcurve("V1154 Cyg", author="Kepler", cadence="long").download_all().stitch()
lc = lc.remove_nans().remove_outliers(sigma=5)
pg = lc.to_periodogram(method="lombscargle", minimum_period=1, maximum_period=20)
print("Davr:", pg.period_at_max_power)
lc.fold(period=pg.period_at_max_power).scatter(alpha=0.3)
  1. Topilgan davr (≈ 4,9 sutka) bo‘yicha Livitt qonunidan $M_V$ ni hisoblang.
  2. Yulduzning o‘rtacha ko‘rinma kattaligini SIMBAD yoki AAVSO dan oling ($V \approx 9{,}2^m$) va masofani yutilishsiz baholang.
  3. Natijani Gaia parallaksi bo‘yicha masofa bilan solishtiring. Farq qaysi omillar (yulduzlararo yutilish, Leavitt qonunining sochilishi) bilan bog‘liq?

C qism. SI bilan ishlash

Men Lightkurve yordamida Kepler ma’lumotlaridan yorug‘lik egri chizig‘ini oldim.
1) BLS periodogrammasi qanday ishlashini talabaga tushunarli qilib izohla.
2) Fazaga yig‘ilgan egri chiziqdan tranzit chuqurligi va davomiyligini o‘lchovchi
   kod yoz; xatolikni bootstrap usulida bahola.
3) Davr karraliligi (P/2, 2P) xatosini qanday aniqlash mumkinligini ko‘rsat.
Har bir qadamda fizik birliklarni yoz.
SI kutubxona funksiyalarining nomlari va argumentlarini ba’zan “o‘ylab topadi”. Kodni ishga tushirib tekshiring, xato bergan qatorlarni rasmiy hujjatlar bilan solishtiring va SI jurnaliga yozing.

Baholash mezonlari (100 ball)

MezonBallTalab
Tranzit tahlili25Davr, chuqurlik, sayyora radiusi va ularning xatoligi
Sefeid va masofa25Davr, $M_V$, masofa; Gaia bilan solishtirish
Kod va grafiklar20Kod ishlaydi, grafiklar o‘qlari va birliklari bilan
SI dan foydalanish jurnali15Promptlar, SI javoblari va tuzatilgan xatolar
Xulosa15Usullarning cheklovlari va xatolik manbalari tahlil qilingan

Baho: 86–100 ball — a’lo (5), 71–85 — yaxshi (4), 55–70 — qoniqarli (3), 55 dan kam — qoniqarsiz (2).

4. Nazorat va adabiyotlar

Nazorat savollari

1-savol. Ikki yulduz kattaliklari farqi 5ᵐ. Ularning yorug‘lik oqimlari nisbati qancha?
2-savol. Teleskop diametri 2 marta oshirildi. Ajrata olish chegarasi qanday o‘zgaradi?
3-savol. Sefeidning davri 10 sutka, o‘rtacha ko‘rinma kattaligi 10ᵐ. Yutilishni hisobga olmasdan masofa qancha?
4-savol. Nima uchun davrni topishda fazaga yig‘ish usuli qo‘llaniladi?

Mustaqil ish uchun savollar

  1. Nima uchun kosmik teleskoplar (Kepler, TESS) Yerdagi teleskoplarga qaraganda aniqroq fotometriya beradi?
  2. “Masofa zinapoyasi” nima? Parallaks, Sefeidlar va Ia tur o‘ta yangi yulduzlar bu zinapoyada qanday bog‘langan?
  3. Tutiluvchi qo‘shaloq yulduz yorug‘lik egri chizig‘i tranzitdan qanday farq qiladi?

Adabiyotlar

  1. Howell, S. B. (2006). Handbook of CCD Astronomy (2nd ed.). Cambridge University Press.
  2. Stellingwerf, R. F. (1978). Period determination using phase dispersion minimization. The Astrophysical Journal, 224, 953–960. https://doi.org/10.1086/156444
  3. VanderPlas, J. T. (2018). Understanding the Lomb–Scargle periodogram. The Astrophysical Journal Supplement Series, 236(1), 16. https://doi.org/10.3847/1538-4365/aab766
  4. Kovács, G., Zucker, S., & Mazeh, T. (2002). A box-fitting algorithm in the search for periodic transits. Astronomy & Astrophysics, 391, 369–377. https://doi.org/10.1051/0004-6361:20020802
  5. Leavitt, H. S., & Pickering, E. C. (1912). Periods of 25 variable stars in the Small Magellanic Cloud. Harvard College Observatory Circular, 173, 1–3.
  6. Benedict, G. F., et al. (2007). Hubble Space Telescope Fine Guidance Sensor parallaxes of Galactic Cepheid variable stars: Period-luminosity relations. The Astronomical Journal, 133(4), 1810–1827. https://doi.org/10.1086/511980
  7. Borucki, W. J., et al. (2010). Kepler planet-detection mission: Introduction and first results. Science, 327(5968), 977–980. https://doi.org/10.1126/science.1185402
  8. Ricker, G. R., et al. (2015). The Transiting Exoplanet Survey Satellite. Journal of Astronomical Telescopes, Instruments, and Systems, 1(1), 014003. https://doi.org/10.1117/1.JATIS.1.1.014003
  9. Lightkurve Collaboration (2018). Lightkurve: Kepler and TESS time series analysis in Python. Astrophysics Source Code Library, ascl:1812.013.