Fizik jarayonlarni modellashtirish — bilish metodi sifatida.
Model turlari va AI-integratsiyasi

Matematik model: Ikki jism gravitatsion o‘zaro ta’siri Nyutonning 2-qonuni va Butun olam tortishish qonuni orqali 2-tartibli nochiziqli differensial tenglamalar sistemasi ko‘rinishida yoziladi: $$\frac{d^2\vec{r}}{dt^2} = - \frac{G M}{r^3} \vec{r} \iff \begin{cases} \frac{dv_x}{dt} = - \frac{GM x}{(x^2+y^2)^{3/2}} \\ \frac{dv_y}{dt} = - \frac{GM y}{(x^2+y^2)^{3/2}} \end{cases}$$ Saqlanish qonunlari (invariantlar):
• To‘liq mexanik energiya: $E = \frac{1}{2}m(v_x^2 + v_y^2) - \frac{GMm}{\sqrt{x^2+y^2}} = \text{const}$
• Burchak momenti (Impuls momenti): $\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} = m(x v_y - y v_x)\vec{k} = \text{const}$
• Laplas-Runge-Lents vektori $\vec{A} = \vec{v} \times \vec{L} - GMm\frac{\vec{r}}{r} = \text{const}$ (orbita perigeliysining fazoda burilmasligini ta’minlaydi).

• Orbita geometriyasi: $v_0 = \sqrt{GM/r_0}$ bo‘lganda doira ($e=0$), $v_0 < \sqrt{2GM/r_0}$ da ellips ($0 < e < 1$), $v_0 = \sqrt{2GM/r_0}$ da parabola ($e=1$), $v_0 > \sqrt{2GM/r_0}$ da giperbola ($e>1$).
• Sonli integrator: PhET bu simulyatsiyada oddiy Eyler usulini ishlata olmaydi (chunki orbita spiral shaklida portlaydi). Simplektik Verlet yoki 4-tartibli Runge–Kutta (RK4) usuli qo‘llanilgan.
• Tasnifi: 100% Deterministik Dinamik Model — boshlang‘ich koordinata $(x_0, y_0)$ va tezlik $(v_{x0}, v_{y0})$ ma’lum bo‘lsa, istalgan kelajak vaqt $t$ dagi holat Koshi teoremasiga ko‘ra bir qiymatli aniqlanadi.

Matematik model: $N$ ta mutlaq elastik qattiq disklar (Hard-Sphere Model). Zarrachalar to‘qnashuvida impuls va mexanik energiya saqlanadi: $$\vec{v}_1' = \vec{v}_1 - \frac{2 m_2}{m_1+m_2}\frac{(\vec{v}_1-\vec{v}_2)\cdot(\vec{r}_1-\vec{r}_2)}{\|\vec{r}_1-\vec{r}_2\|^2}(\vec{r}_1-\vec{r}_2)$$ Makroskopik va mikroskopik parametrlar bog‘liqligi:
• Devorga berilgan impuls oqimi va Bosim: $P = \frac{1}{A \Delta t} \sum_{k} 2 m |v_{\perp, k}|$
• Harorat va O‘rtacha Kinetik Energiya: $\langle E_k \rangle = \frac{1}{2}m\langle v^2 \rangle = k_B T \quad \text{(2D holatda)}$
• Maksvell-Bolsman tezliklar taqsimoti: $$f(v) = \frac{m}{k_B T} v \exp\left(-\frac{m v^2}{2 k_B T}\right)$$

• Dinamik xaos va tasodifiylik: Garchi har bir to‘qnashuv Nyuton mexanikasiga bo‘ysunsa-da, $N \sim 100$ ta zarrachada trayektoriyalarning boshlang‘ich shartlarga o‘ta yuqori sezgirligi (Lyapunov eksponentasi $\lambda > 0$) tufayli tizim xaotik bo‘ladi.
• Statistik muvozanat: Boshida barcha zarrachalarga bir xil tezlik berilsa ham, 2-3 soniya to‘qnashuvlardan so‘ng tezliklar Maksvell taqsimoti egri chizig‘iga o‘z-o‘zidan kelib tushadi.
• Tasnifi: Stoxastik Dinamik Diskret Model — alohida zarracha trayektoriyasi tasodifiy (Broun harakati), ammo butun ansambl qat’iy statistik qonuniyatlarga bo‘ysunadi.

Matematik model: 1D tor tebranishining xususiy hosilali differensial to‘lqin tenglamasi (D’Alamber tenglamasi): $$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = v^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \gamma \frac{\partial u}{\partial t}, \quad v = \sqrt{\frac{T_{\text{taranglik}}}{\mu_{\text{chiziqli zichlik}}}}$$ Chegaraviy shartlar (boundary conditions):
• Qattiq mahkamlangan uch (Fixed End): $u(L, t) = 0 \implies$ to‘lqin $\pi$ faza siljishi bilan qaytadi (to‘ntariladi).
• Erkin uch (Loose End): $\frac{\partial u}{\partial x}\big|_{x=L} = 0 \implies$ to‘lqin faza o‘zgarmasdan qaytadi.
• Cheksiz muhit (No End): Chegaradan to‘lqin qaytmasdan to‘liq yutiladi.

• Diskretlash usuli: Uzluksiz tor kompyuterda $N$ ta o‘zaro prujinalar bilan ulangan diskret moddiy nuqtalar zanjiri (Chekli Ayirmalar — FDM) sifatida modellangan.
• Rezonans va turg‘un to‘lqinlar: Manba chastotasi $\nu = \frac{n v}{2L}$ bo‘lganda, torda turg‘un to‘lqinlar (tugunlar va bo‘rtiqlar) hosil bo‘ladi.
• Tasnifi: Deterministik Uzluksiz Maydon Modeli — fazoda vaqt bo‘yicha to‘lqin maydoni $u(x, t)$ ning evolyutsiyasini aniq ifodalaydi.